ThomazProf. ThomazMatemática para Concursos
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Análise Combinatória

Princípio multiplicativo, arranjos, combinações e permutações em situações práticas.

Princípio Multiplicativo

  • Se uma decisão pode ser tomada em etapas independentes, com m₁, m₂, ..., mₖ opções em cada etapa, o total de possibilidades é o produto m₁ × m₂ × ... × mₖ.
  • É a base de toda a análise combinatória — arranjos, combinações e permutações podem ser deduzidos a partir dele.
Exemplo resolvido

Uma pessoa vai montar um look escolhendo uma camisa entre 3, uma calça entre 2 e um par de sapato entre 4. De quantas formas diferentes ela pode se vestir?

  1. As escolhas são etapas independentes: camisa × calça × sapato.
  2. 3 × 2 × 4.
  3. 24 formas diferentes.

Arranjo

  • Usado quando a ORDEM importa e os elementos não se repetem — ex.: pódios, senhas sem repetição de dígitos, cargos diferentes distribuídos entre pessoas.
  • Fórmula: A(n, p) = n! / (n − p)!, para escolher e ordenar p elementos entre n disponíveis.
  • Diferença chave para combinação: no arranjo, trocar a ordem dos mesmos elementos escolhidos conta como um resultado diferente.
Exemplo resolvido

De um grupo de 5 atletas, quantos pódios diferentes (1º, 2º e 3º lugar) podem ser formados?

  1. A ordem importa (1º ≠ 2º ≠ 3º lugar), então é um arranjo: A(5, 3) = 5! / (5 − 3)!.
  2. A(5, 3) = 5! / 2! = 120 / 2.
  3. A(5, 3) = 60 pódios diferentes.

Combinação

  • Usado quando a ORDEM NÃO importa — ex.: formar um grupo, uma comissão ou escolher itens sem distinção de posição.
  • Fórmula: C(n, p) = n! / [p! × (n − p)!].
Exemplo resolvido

De um grupo de 7 alunos, quantas comissões de 2 alunos podem ser formadas, sem distinção de cargo entre eles?

  1. A ordem não importa dentro da comissão, então é uma combinação: C(7, 2) = 7! / (2! × 5!).
  2. C(7, 2) = 5.040 / (2 × 120) = 5.040 / 240.
  3. C(7, 2) = 21 comissões diferentes.

Permutação

  • Caso particular do arranjo em que se usam TODOS os n elementos disponíveis: Pₙ = n!.
  • Permutação com elementos repetidos: Pₙ^(a,b,...) = n! / (a! × b! × ...), onde a, b, ... são as quantidades de cada elemento que se repete.
Exemplo resolvido

De quantas formas diferentes 5 pessoas podem se sentar em fila, em 5 cadeiras numeradas?

  1. Todos os 5 elementos são usados e a ordem importa: P₅ = 5!.
  2. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
  3. P₅ = 120 formas diferentes.