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Função Quadrática

Parábolas, ponto de máximo e mínimo (vértice), trajetórias de projéteis, lucro máximo e custo mínimo.

Vértice da Parábola

Para f(x) = ax² + bx + c, o vértice é o ponto (xᵥ, yᵥ), com xᵥ = −b / (2a).
yᵥ pode ser calculado substituindo xᵥ em f(x), ou direto por yᵥ = −Δ / (4a), sem precisar achar as raízes antes.
Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo (parábola com concavidade para cima). Se a < 0, é ponto de máximo (concavidade para baixo).

Exemplo resolvido

A altura h, em metros, de um projétil em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t) = −2t² + 40t. Qual é o vértice da parábola que descreve esse movimento?

xᵥ = −40 / (2 × −2) = −40 / −4 = 10.
yᵥ = h(10) = −2(10)² + 40(10) = −200 + 400 = 200.
Vértice: (10, 200).

Pontos de Máximo e Mínimo

O valor de yᵥ é o valor MÁXIMO da função quando a < 0, ou o valor MÍNIMO quando a > 0.
Em problemas de receita, lucro ou altura, o vértice responde duas perguntas: em que ponto (xᵥ) o melhor resultado ocorre, e qual é esse melhor resultado (yᵥ).
Atalho: yᵥ = −Δ / (4a), com Δ = b² − 4ac.

Exemplo resolvido

A receita mensal de uma loja, em reais, é dada por R(x) = −2x² + 80x, em que x é o valor do reajuste no preço de venda. Qual é a receita máxima possível?

xᵥ = −80 / (2 × −2) = −80 / −4 = 20.
yᵥ = R(20) = −2(20)² + 80(20) = −800 + 1.600.
Receita máxima: R$ 800,00, obtida com reajuste x = 20.

Raízes e Concavidade

As raízes são os valores de x em que f(x) = 0, encontrados pela fórmula de Bhaskara.
Concavidade: a > 0 → parábola abre para cima ("sorriso"); a < 0 → parábola abre para baixo ("triste").
As raízes (quando existem) são simétricas em relação ao eixo xᵥ = −b / (2a).

Exemplo resolvido

Encontre as raízes de f(x) = x² − 5x + 6 e diga qual é a concavidade da parábola.

Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1.
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 ou x = 2.
Como a = 1 > 0, a concavidade é para cima.