Prof. ThomazMatemática para ConcursosMédia · ~4% da prova
Geometria Analítica
Plano cartesiano, distância entre pontos, equação da reta e da circunferência.
Distância entre Pontos
- Distância entre A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂): d(A,B) = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
- É o Teorema de Pitágoras aplicado às coordenadas: a diferença em x e a diferença em y formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância.
Exemplo resolvido
No plano cartesiano, qual é a distância entre os pontos A(1, 2) e B(4, 6)?
- d = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √[3² + 4²].
- d = √[9 + 16] = √25.
- d = 5.
Equação da Reta
- Forma reduzida: y = mx + n, onde m é o coeficiente angular (a mesma inclinação da função afim) e n é onde a reta cruza o eixo y.
- Coeficiente angular a partir de dois pontos: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
- Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular; retas perpendiculares têm produto dos coeficientes angulares igual a −1.
Exemplo resolvido
Uma reta passa pelos pontos (2, 3) e (6, 11). Qual é a equação reduzida dessa reta?
- m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8 / 4 = 2.
- Substituindo o ponto (2, 3) em y = 2x + n: 3 = 2(2) + n → n = −1.
- y = 2x − 1 (confira com o outro ponto: 2×6 − 1 = 11 ✓).
Equação da Circunferência
- Equação reduzida: (x − a)² + (y − b)² = r², onde (a, b) é o centro e r é o raio.
- Para saber se um ponto está dentro, na borda ou fora da circunferência, substitua as coordenadas do ponto no lado esquerdo e compare com r²: igual → na borda; menor → dentro; maior → fora.
Exemplo resolvido
Qual é a equação da circunferência de centro (3, −2) e raio 5?
- (x − a)² + (y − b)² = r², com a = 3, b = −2 e r = 5.
- (x − 3)² + (y − (−2))² = 5².
- (x − 3)² + (y + 2)² = 25.