ThomazProf. ThomazMatemática para Concursos
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Geometria Espacial

Volumes e áreas de prismas, cilindros, cones, esferas e pirâmides em contextos aplicados.

Prismas e Cilindros

  • Volume de um prisma (incluindo paralelepípedo e cubo): V = Área da base × altura.
  • Volume do cilindro: V = π · r² · h.
  • Área total = área lateral + 2 × área da base, para prismas retos e cilindros.
Exemplo resolvido

Um tambor cilíndrico tem raio da base 3 m e altura 4 m. Usando π ≈ 3, qual é o volume aproximado desse tambor?

  1. V = π × r² × h ≈ 3 × 3² × 4.
  2. V ≈ 3 × 9 × 4.
  3. V ≈ 108 m³.

Cones e Pirâmides

  • Volume do cone: V = (1/3) · π · r² · h.
  • Volume da pirâmide: V = (1/3) · Área da base · h.
  • Cones e pirâmides têm volume igual a 1/3 do cilindro (ou prisma) de mesma base e mesma altura.
Exemplo resolvido

Um cone tem raio da base 6 cm e altura 7 cm. Usando π ≈ 22/7, qual é o volume aproximado desse cone?

  1. V = (1/3) × π × r² × h ≈ (1/3) × (22/7) × 6² × 7.
  2. Os fatores 7 se cancelam: (1/3) × 22 × 36.
  3. V ≈ 792 / 3 = 264 cm³.

Esferas

  • Volume da esfera: V = (4/3) · π · r³.
  • Área da superfície esférica: A = 4 · π · r².
  • Um hemisfério (metade da esfera) tem volume (2/3) · π · r³ — usado em problemas de tigelas, cúpulas e domos.
Exemplo resolvido

Uma esfera tem raio 3 cm. Usando π ≈ 3, qual é o volume aproximado dessa esfera?

  1. V = (4/3) × π × r³ ≈ (4/3) × 3 × 3³.
  2. (4/3) × 3 = 4, então V ≈ 4 × 27.
  3. V ≈ 108 cm³.

Planificações

  • A planificação de um sólido mostra todas as suas faces "abertas" em um plano — útil para calcular a área total como soma das áreas de cada face.
  • Cubo: planificação com 6 quadrados congruentes. Prisma: 2 bases + faces laterais retangulares. Cone: um setor circular (superfície lateral) + um círculo (base).
  • Cilindro planificado: a superfície lateral vira um retângulo de largura 2πr (o perímetro da base) e altura h, mais 2 círculos de raio r nas bases.
Exemplo resolvido

Um cilindro tem raio da base 5 cm e altura 10 cm. Usando π ≈ 3, qual é a área lateral desse cilindro quando planificado (o retângulo)?

  1. Área lateral = 2 × π × r × h ≈ 2 × 3 × 5 × 10.
  2. Área lateral ≈ 300 cm².