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Tabelas-Verdade

Conectivos lógicos, construção de tabelas-verdade e equivalências lógicas — segundo raio-x de provas Cebraspe, o assunto isolado mais cobrado em RLM.

Conectivos e Valores Lógicos

  • Conjunção (p ∧ q, "e"): verdadeira somente quando as duas proposições são verdadeiras.
  • Disjunção (p ∨ q, "ou"): verdadeira quando pelo menos uma das proposições é verdadeira; só é falsa quando ambas são falsas.
  • Condicional (p → q, "se...então"): falsa apenas quando p é verdadeira e q é falsa; em todos os outros casos — inclusive com p falsa — é verdadeira.
  • Bicondicional (p ↔ q, "se e somente se"): verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico (ambas V ou ambas F).
Exemplo resolvido

Considere as proposições simples p (valor lógico V) e q (valor lógico F). Qual é o valor lógico da proposição composta p → q?

  1. A condicional p → q só é falsa quando p é V e q é F.
  2. Aqui, p = V e q = F — exatamente o caso que torna a condicional falsa.
  3. Valor lógico de p → q: Falso (F).

Construção de Tabelas-Verdade

  • Uma proposição com n proposições simples tem 2ⁿ linhas na tabela-verdade (todas as combinações possíveis de V/F).
  • Construa a tabela coluna por coluna, calculando primeiro os conectivos mais internos (dentro de parênteses) antes dos externos: negação, depois conjunção/disjunção, depois condicional/bicondicional.
  • Uma proposição é tautologia se sua coluna final é sempre V, contradição se é sempre F, e contingência se varia entre V e F.
Exemplo resolvido

Construa a tabela-verdade de p ∧ (~p ∨ q) e classifique-a.

  1. Com p e q há 2² = 4 linhas: (V,V), (V,F), (F,V), (F,F).
  2. (V,V): ~p=F, ~p∨q=F∨V=V, p∧(~p∨q)=V∧V=V.
  3. (V,F): ~p=F, ~p∨q=F∨F=F, p∧(~p∨q)=V∧F=F.
  4. (F,V): ~p=V, ~p∨q=V∨V=V, p∧(~p∨q)=F∧V=F.
  5. (F,F): ~p=V, ~p∨q=V∨F=V, p∧(~p∨q)=F∧V=F.
  6. Coluna final: V, F, F, F — nem sempre V nem sempre F, logo é uma contingência.

Equivalências Lógicas

  • Duas proposições são logicamente equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade para todos os valores possíveis das proposições simples.
  • Leis de De Morgan: a negação de "p ∧ q" é "~p ∨ ~q"; a negação de "p ∨ q" é "~p ∧ ~q".
  • A condicional "p → q" é equivalente à sua contrapositiva "~q → ~p" e à disjunção "~p ∨ q" — mas NÃO é equivalente à sua recíproca "q → p" nem à sua inversa "~p → ~q".
Exemplo resolvido

Qual das proposições abaixo é logicamente equivalente a "~(p ∨ q)"?

  1. Pela lei de De Morgan para a disjunção, a negação de "p ∨ q" é "~p ∧ ~q".
  2. Conferindo pela tabela-verdade: "~(p∨q)" é V só quando p=F e q=F; "~p∧~q" também é V só quando p=F e q=F — as tabelas coincidem em todas as linhas.
  3. Resposta: "~p ∧ ~q".