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Verdades e Mentiras

Problemas clássicos de habitantes que sempre mentem ou sempre dizem a verdade, resolvidos por análise de casos.

Quem Sempre Mente

Em uma ilha com apenas mentirosos (sempre falam falso) e verazes (sempre dizem a verdade), toda afirmação feita por um mentiroso é necessariamente falsa — inclusive afirmações sobre si mesmo.
Um mentiroso nunca pode dizer de forma consistente "eu sou mentiroso": se dissesse, a afirmação seria verdadeira, contradizendo o fato de ele ser mentiroso.
Para testar se alguém é mentiroso, suponha que ele é e verifique se todas as suas afirmações ficam falsas de forma consistente com o restante do enunciado.

Exemplo resolvido

Em uma ilha só há mentirosos (sempre mentem) e verazes (sempre dizem a verdade). Pedro diz: "Eu e Tiago somos mentirosos." Pedro é mentiroso ou veraz?

Suponha que Pedro seja veraz: então sua afirmação "eu e Tiago somos mentirosos" seria verdadeira — mas isso diria que o próprio Pedro é mentiroso, contradizendo a suposição.
Logo, Pedro não pode ser veraz — Pedro é mentiroso.
Como Pedro mente, a afirmação "eu e Tiago somos mentirosos" é falsa; como Pedro já é mentiroso, para a afirmação conjunta ser falsa, Tiago deve ser veraz.

Quem Sempre Diz a Verdade

Toda afirmação feita por alguém que sempre diz a verdade é necessariamente verdadeira — inclusive afirmações sobre terceiros, que podem ser tomadas como fato.
Se um veraz afirma algo sobre outra pessoa (ex.: "Fulano é mentiroso"), essa informação é 100% confiável e deve ser usada como pista certa no resto do problema.
Duas pessoas verazes nunca podem se contradizer entre si — se duas afirmações de supostos verazes se contradizem, pelo menos uma delas não pode ser veraz.

Exemplo resolvido

Marta, que sempre diz a verdade, afirma: "Júlia é mentirosa e Rafael é veraz." Considerando que a ilha só tem mentirosos e verazes, o que se pode concluir sobre Júlia e Rafael?

Como Marta sempre diz a verdade, tudo que ela afirma é necessariamente verdadeiro.
A afirmação de Marta é uma conjunção: "Júlia é mentirosa" E "Rafael é veraz".
Como a afirmação completa é verdadeira, ambas as partes são verdadeiras: Júlia é mentirosa e Rafael é veraz.

Casos Mistos

Quando duas pessoas fazem afirmações que se referem uma à outra (ou a si mesmas), teste as duas hipóteses possíveis para uma delas ("é veraz" / "é mentirosa") e veja qual não gera contradição.
Uma afirmação que nega a si mesma de forma paradoxal nunca pode ser dita de forma consistente por nenhum dos dois tipos de habitante — se aparecer, é sinal de erro de leitura do enunciado.
Resolva por análise de casos: liste as combinações possíveis de veraz/mentiroso para todas as pessoas envolvidas e elimine as que geram contradição com alguma afirmação.

Exemplo resolvido

Em uma ilha vivem apenas dois tipos de habitantes: os que sempre dizem a verdade e os que sempre mentem. Célia afirma: "Davi é mentiroso." Davi afirma: "Nem Célia nem eu somos mentirosos." Quem está dizendo a verdade?

Suponha que Célia diga a verdade: então Davi é mentiroso.
A afirmação de Davi ("nem Célia nem eu somos mentirosos") seria falsa — o que é consistente, já que Davi é mentiroso.
Agora suponha que Célia minta: então Davi não é mentiroso, ou seja, Davi é veraz — mas a afirmação de Davi diria que nenhum dos dois mente, incluindo Célia, contradizendo a suposição de que Célia mente.
A única solução consistente é: apenas Célia diz a verdade.