ThomazProf. ThomazMatemática para Concursos
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FundamentalMédio
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Conjuntos

União, interseção e diferença de conjuntos, diagramas de Venn e problemas de pesquisa com sobreposição de grupos.

União e Interseção

  • União (A ∪ B): elementos que pertencem a A OU a B (ou a ambos).
  • Interseção (A ∩ B): elementos que pertencem a A E a B ao mesmo tempo.
  • Fórmula fundamental: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| — subtrai-se a interseção para não contar os elementos comuns duas vezes.
Exemplo resolvido

Numa turma, 18 alunos jogam futebol, 12 jogam vôlei, e 5 jogam os dois esportes. Quantos alunos jogam pelo menos um dos dois esportes?

  1. |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  2. |A ∪ B| = 18 + 12 − 5.
  3. |A ∪ B| = 25 alunos.

Diagramas de Venn

  • Um diagrama de Venn representa cada conjunto como um círculo; a área de sobreposição entre os círculos é a interseção.
  • Para preencher o diagrama corretamente, comece pela interseção ("quantos estão nos dois ao mesmo tempo") e depois subtraia esse valor dos totais de cada conjunto para achar "só A" e "só B".
  • A soma de todas as regiões do diagrama (só A, só B, A ∩ B, e nenhum dos dois) deve ser igual ao total de elementos pesquisados.
Exemplo resolvido

Numa pesquisa com 90 pessoas, 50 leem o jornal A, 40 leem o jornal B, e 15 leem os dois jornais. Quantas pessoas leem só o jornal A?

  1. "Só A" é o total de A menos quem também está em B (a interseção).
  2. Só A = 50 − 15.
  3. Só A = 35 pessoas.

Problemas de Pesquisa

  • Em pesquisas com duas categorias, o total pesquisado se divide em 4 grupos: só A, só B, A e B (ambos), e nenhum dos dois — a soma desses 4 grupos é sempre igual ao total.
  • Quem está em "pelo menos uma categoria" = total − quem não está em nenhuma das duas.
  • A fórmula |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| serve para achar qualquer uma das quatro grandezas (|A|, |B|, |A ∩ B| ou |A ∪ B|), desde que as outras três sejam conhecidas.
Exemplo resolvido

Numa pesquisa com 100 clientes, 60 compram o produto X, 45 compram o produto Y, e 20 não compram nenhum dos dois. Quantos clientes compram os dois produtos ao mesmo tempo?

  1. Quem compra pelo menos um dos dois produtos: 100 − 20 = 80.
  2. Pela fórmula |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|: 80 = 60 + 45 − |A ∩ B|.
  3. |A ∩ B| = 60 + 45 − 80 = 25 clientes.
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