ThomazProf. ThomazMatemática para Concursos
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FundamentalMédio
Média-Alta · ~8% da prova

Equações e Sistemas

Modelagem algébrica, equações do 1º e 2º grau, sistemas lineares e inequações contextualizadas.

Sistemas de Equações 2x2

  • Método da substituição: isole uma variável em uma das equações e substitua na outra.
  • Método da adição/eliminação: multiplique uma ou ambas as equações por constantes até os coeficientes de uma variável ficarem opostos, depois some as duas equações.
  • Sempre confira a solução substituindo os valores encontrados nas duas equações originais.
Exemplo resolvido

Numa livraria, 2 cadernos e 3 lápis custam R$ 33,00; 4 cadernos e 1 lápis custam R$ 31,00. Qual é o preço de um lápis?

  1. Chamando o caderno de x e o lápis de y: 2x + 3y = 33 e 4x + y = 31.
  2. Da segunda equação: y = 31 − 4x.
  3. Substituindo na primeira: 2x + 3(31 − 4x) = 33 → 2x + 93 − 12x = 33 → −10x = −60 → x = 6.
  4. y = 31 − 4(6) = 31 − 24 = 7. O lápis custa R$ 7,00.

Equações Quadráticas (Bhaskara)

  • Forma geral: ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.
  • Discriminante: Δ = b² − 4ac. Δ > 0 → duas raízes reais distintas; Δ = 0 → uma raiz real (dupla); Δ < 0 → nenhuma raiz real.
  • Fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √Δ) / (2a).
  • Em problemas de medida (comprimento, largura, tempo etc.), descarte a raiz negativa — ela não tem sentido físico.
Exemplo resolvido

Um terreno retangular tem comprimento 7 m maior que a largura. Sabendo que a área do terreno é 120 m², qual é a medida da largura?

  1. Chamando a largura de x: x(x + 7) = 120 → x² + 7x − 120 = 0.
  2. Δ = 7² − 4(1)(−120) = 49 + 480 = 529. √529 = 23.
  3. x = (−7 ± 23) / 2 → x = 8 ou x = −15.
  4. Como largura não pode ser negativa, a resposta é x = 8 m.

Inequações do 1º grau

  • Resolve-se isolando a incógnita, do mesmo jeito que uma equação do 1º grau.
  • Regra crítica: ao multiplicar ou dividir os dois lados por um número NEGATIVO, o sentido da desigualdade se inverte.
  • A solução é um intervalo de valores, não um único número — represente na reta numérica ou em notação de intervalo.
Exemplo resolvido

Um vendedor recebe salário fixo de R$ 1.200,00 mais R$ 30,00 por produto vendido. Qual é o número mínimo de produtos que ele precisa vender para que o salário total ultrapasse R$ 2.100,00?

  1. Montando a inequação: 1.200 + 30x > 2.100.
  2. 30x > 900 → x > 30.
  3. Como x precisa ser um número inteiro de produtos e maior que 30, o mínimo é x = 31 produtos.
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