ThomazProf. ThomazMatemática para Concursos
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Geometria Plana

Áreas e perímetros de figuras planas, semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras e Tales.

Áreas e Perímetros

  • Perímetro é a soma de todos os lados da figura; retângulo: P = 2(b + h). Círculo (comprimento): C = 2πr.
  • Área: retângulo A = b·h; triângulo A = (b·h)/2; círculo A = πr²; trapézio A = (B + b)·h/2, com B a base maior e b a base menor.
  • Em figuras compostas, calcule a área de cada parte simples separadamente e some (ou subtraia, se houver um "buraco" na figura).
Exemplo resolvido

Um terreno tem forma de trapézio, com base maior de 20 m, base menor de 12 m e altura de 8 m. Qual é a área desse terreno?

  1. A = (B + b) · h / 2 = (20 + 12) × 8 / 2.
  2. A = 32 × 8 / 2 = 256 / 2.
  3. A = 128 m².

Semelhança de Triângulos

  • Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos ângulos (ou lados proporcionais); a razão entre lados correspondentes é constante — a razão de semelhança.
  • Se a razão de semelhança entre os lados é k, a razão entre as áreas é k².
  • Aplicação clássica: problemas de sombra/altura, em que o objeto, sua sombra e os raios de luz (paralelos) formam triângulos semelhantes.
Exemplo resolvido

Um poste de 6 m de altura projeta uma sombra de 4 m no mesmo instante em que uma pessoa projeta uma sombra de 1,2 m. Qual é a altura da pessoa?

  1. Os triângulos (poste/sombra e pessoa/sombra) são semelhantes: 6/4 = h/1,2.
  2. h = 6 × 1,2 / 4 = 7,2 / 4.
  3. h = 1,8 m.

Teorema de Pitágoras

  • Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c².
  • Usado para achar um lado desconhecido de um triângulo retângulo, ou para verificar se um triângulo é retângulo.
Exemplo resolvido

Um triângulo retângulo tem catetos medindo 6 cm e 8 cm. Qual é a medida da hipotenusa?

  1. hipotenusa² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
  2. hipotenusa = √100.
  3. hipotenusa = 10 cm.

Teorema de Tales

  • Um feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais determina segmentos proporcionais nas transversais.
  • Regra prática: se as paralelas cortam as transversais nos pontos A, B, C e A', B', C' (na mesma ordem), então AB/BC = A'B'/B'C'.
  • Muito usado para dividir um segmento em partes proporcionais ou achar uma medida desconhecida a partir de uma proporção conhecida.
Exemplo resolvido

Três retas paralelas cortam duas retas transversais. Numa transversal, os segmentos determinados medem 4 cm e 6 cm; na outra, os segmentos correspondentes medem 6 cm e x. Qual é o valor de x?

  1. Pela proporcionalidade de Tales: 4/6 = 6/x.
  2. x = 6 × 6 / 4 = 36 / 4.
  3. x = 9 cm.
Áreas e PerímetrosTeorema de PitágorasTeorema de TalesSemelhança de Triângulos