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Matrizes e Determinantes

Operações com matrizes, determinantes e aplicações em sistemas e organização de dados.

Operações com Matrizes

  • Soma/subtração: soma-se (ou subtrai-se) elemento a elemento; só é possível entre matrizes de mesma dimensão.
  • Multiplicação por escalar: multiplica-se cada elemento da matriz pelo número.
  • Multiplicação de matrizes: o elemento da linha i, coluna j do resultado é a soma dos produtos da linha i da primeira matriz pelos elementos da coluna j da segunda; só é possível quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda.
Exemplo resolvido

Considere as matrizes A = [[2, 1], [0, 3]] e B = [[1, 4], [2, −1]]. Calcule 2A + B.

  1. 2A = [[4, 2], [0, 6]].
  2. 2A + B: soma elemento a elemento.
  3. 2A + B = [[4+1, 2+4], [0+2, 6−1]] = [[5, 6], [2, 5]].

Determinantes

  • Matriz 2×2 [[a, b], [c, d]]: det = a·d − b·c.
  • Matriz 3×3: regra de Sarrus — repete-se as duas primeiras colunas ao lado da matriz, soma-se os produtos das três diagonais "descendo" e subtrai-se os produtos das três diagonais "subindo".
  • Se det = 0, a matriz não tem inversa (é chamada de singular).
Exemplo resolvido

Considere a matriz A = [[4, 7], [2, 5]]. Qual é o determinante de A?

  1. det(A) = a·d − b·c = 4×5 − 7×2.
  2. det(A) = 20 − 14.
  3. det(A) = 6.

Aplicações Práticas

  • Matrizes organizam dados em tabelas (linhas = itens/categorias, colunas = atributos/períodos) — úteis para representar produção, estoque, notas etc.
  • Multiplicação de matrizes aparece em problemas de "custo total": uma matriz-linha de quantidades multiplicada por uma matriz-coluna de preços resulta no custo total.
  • Soma e multiplicação por escalar modelam variações simples: reajustar todos os valores por um mesmo fator, ou combinar duas tabelas de mesma estrutura.
Exemplo resolvido

A matriz-linha Q = [10, 5] representa a quantidade comprada de dois produtos (em unidades) e a matriz-coluna P = [[8], [12]] representa o preço unitário de cada produto (em reais). O produto Q × P dá o custo total da compra. Qual é esse custo?

  1. Q × P = [10×8 + 5×12].
  2. Q × P = [80 + 60].
  3. Custo total: R$ 140,00.
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