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Trigonometria

Razões trigonométricas no triângulo retângulo, lei dos senos e cossenos, aplicações de altura e distância.

Triângulo Retângulo

seno = cateto oposto / hipotenusa; cosseno = cateto adjacente / hipotenusa; tangente = cateto oposto / cateto adjacente (= seno / cosseno).
Ângulos notáveis: 30° (sen = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3); 45° (sen = cos = √2/2, tan = 1); 60° (sen = √3/2, cos = 1/2, tan = √3).
Muito usado em problemas de altura/distância a partir de um ângulo de observação (elevação ou depressão).

Exemplo resolvido

Um observador está a 20 m da base de uma torre e vê o topo da torre sob um ângulo de 60° em relação ao chão. Usando tan(60°) ≈ 1,73, qual é, aproximadamente, a altura da torre?

tan(60°) = altura / distância.
altura = distância × tan(60°) = 20 × 1,73.
altura ≈ 34,6 m.

Lei dos Senos

Válida para qualquer triângulo (não só retângulo): a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C), onde cada lado é oposto ao ângulo de mesma letra.
Usada quando se conhece um lado e o ângulo oposto a ele, junto de outro ângulo ou lado do triângulo.

Exemplo resolvido

Num triângulo, o lado a mede 10 cm e é oposto a um ângulo de 30°. O lado b é oposto a um ângulo de 90°. Usando sen(30°) = 0,5 e sen(90°) = 1, qual é a medida do lado b?

Pela lei dos senos: a/sen(A) = b/sen(B) → 10/0,5 = b/1.
20 = b.
b = 20 cm.

Lei dos Cossenos

Generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo: a² = b² + c² − 2bc·cos(A), onde A é o ângulo oposto ao lado a.
Usada quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles (para achar o terceiro lado), ou os três lados (para achar um ângulo).

Exemplo resolvido

Num triângulo, dois lados medem 8 cm e 5 cm, e o ângulo entre eles é 60°. Usando cos(60°) = 0,5, qual é a medida do terceiro lado?

a² = 8² + 5² − 2 × 8 × 5 × cos(60°) = 64 + 25 − 2×8×5×0,5.
a² = 89 − 40 = 49.
a = √49 = 7 cm.

Triângulo RetânguloLei dos SenosLei dos Cossenos