Prof. ThomazMatemática para ConcursosMédia · ~3% da prova
Exponenciais e Logaritmos
Crescimento e decaimento exponencial, meia-vida radioativa, juros contínuos, escalas logarítmicas.
Crescimento e Decaimento
- Crescimento exponencial: N(t) = N₀ · (1 + i)^t, onde N₀ é o valor inicial, i é a taxa de crescimento por período e t o número de períodos.
- Decaimento exponencial: N(t) = N₀ · (1 − i)^t, com 0 < i < 1.
- É o mesmo modelo dos juros compostos aplicado a outras grandezas (população, bactérias, valor de bens, poluentes).
Exemplo resolvido
Uma colônia de bactérias tem 500 indivíduos e cresce 10% a cada hora. Quantos indivíduos ela terá após 2 horas?
- N(t) = 500 × (1 + 0,10)^t.
- N(2) = 500 × (1,10)² = 500 × 1,21.
- N(2) = 605 indivíduos.
Meia-Vida Radioativa
- Meia-vida é o tempo necessário para a quantidade de uma substância cair à metade.
- Fórmula: M(t) = M₀ · (1/2)^(t/T), onde T é a meia-vida e t o tempo decorrido, ambos na mesma unidade.
- Após n meias-vidas completas, a massa restante é M₀ ÷ 2ⁿ.
Exemplo resolvido
Uma substância radioativa tem meia-vida de 2 anos e massa inicial de 640 g. Qual é a massa restante após 6 anos?
- 6 anos correspondem a 6 ÷ 2 = 3 meias-vidas completas.
- M = 640 ÷ 2³ = 640 ÷ 8.
- M = 80 g.
Escalas Logarítmicas (pH, Richter)
- Escalas logarítmicas usam log na base 10 para comprimir grandezas que variam em ordens de grandeza muito diferentes.
- pH = −log₁₀[H⁺]: cada unidade de pH representa uma variação de 10 vezes na concentração de íons H⁺ — quanto menor o pH, maior a concentração de H⁺ (mais ácido).
- Escala Richter: cada grau a mais representa uma amplitude de onda sísmica 10 vezes maior que a do grau anterior.
Exemplo resolvido
Uma solução tem concentração de íons H⁺ igual a 10⁻⁵ mol/L. Qual é o pH dessa solução?
- pH = −log₁₀(10⁻⁵).
- log₁₀(10⁻⁵) = −5, então pH = −(−5).
- pH = 5.