ThomazProf. ThomazMatemática para Concursos
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FundamentalMédio
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Exponenciais e Logaritmos

Crescimento e decaimento exponencial, meia-vida radioativa, juros contínuos, escalas logarítmicas.

Crescimento e Decaimento

  • Crescimento exponencial: N(t) = N₀ · (1 + i)^t, onde N₀ é o valor inicial, i é a taxa de crescimento por período e t o número de períodos.
  • Decaimento exponencial: N(t) = N₀ · (1 − i)^t, com 0 < i < 1.
  • É o mesmo modelo dos juros compostos aplicado a outras grandezas (população, bactérias, valor de bens, poluentes).
Exemplo resolvido

Uma colônia de bactérias tem 500 indivíduos e cresce 10% a cada hora. Quantos indivíduos ela terá após 2 horas?

  1. N(t) = 500 × (1 + 0,10)^t.
  2. N(2) = 500 × (1,10)² = 500 × 1,21.
  3. N(2) = 605 indivíduos.

Meia-Vida Radioativa

  • Meia-vida é o tempo necessário para a quantidade de uma substância cair à metade.
  • Fórmula: M(t) = M₀ · (1/2)^(t/T), onde T é a meia-vida e t o tempo decorrido, ambos na mesma unidade.
  • Após n meias-vidas completas, a massa restante é M₀ ÷ 2ⁿ.
Exemplo resolvido

Uma substância radioativa tem meia-vida de 2 anos e massa inicial de 640 g. Qual é a massa restante após 6 anos?

  1. 6 anos correspondem a 6 ÷ 2 = 3 meias-vidas completas.
  2. M = 640 ÷ 2³ = 640 ÷ 8.
  3. M = 80 g.

Escalas Logarítmicas (pH, Richter)

  • Escalas logarítmicas usam log na base 10 para comprimir grandezas que variam em ordens de grandeza muito diferentes.
  • pH = −log₁₀[H⁺]: cada unidade de pH representa uma variação de 10 vezes na concentração de íons H⁺ — quanto menor o pH, maior a concentração de H⁺ (mais ácido).
  • Escala Richter: cada grau a mais representa uma amplitude de onda sísmica 10 vezes maior que a do grau anterior.
Exemplo resolvido

Uma solução tem concentração de íons H⁺ igual a 10⁻⁵ mol/L. Qual é o pH dessa solução?

  1. pH = −log₁₀(10⁻⁵).
  2. log₁₀(10⁻⁵) = −5, então pH = −(−5).
  3. pH = 5.
Crescimento e DecaimentoMeia-Vida RadioativaEscalas Logarítmicas (pH, Richter)